C`est assez facile à faire. Réécriture de l`équation de l`avion en termes de z, nous avons z = f (x, y) = 2-x-y. Ici, nous ignorons la constante c (il peut être retiré de l`intégrale). C`est-à-dire, nous exprimons tout en termes de $u $ et $v $, et puis nous pouvons faire une intégrale double ordinaire. Then $ {bf r} _ u = langle-vsin u, vcos u, 0 rangle $ et $ {bf r} _ v = langle cos u, sin u, 1 rangle $ et $ {bf r} _ u Times { BF r} _ v = langle vcos u, vsin u,-vrangle $. Peu importe la façon dont les vecteurs normaux de l`unité sont attribués aux points de la bande de Möbius, il y aura des vecteurs normaux très proches les uns des autres pointant dans des directions opposées. Let z = f (x, y) définissent une surface dans l`espace XYZ au-dessus d`une région R dans le plan XY. Tout d`abord, examinons l`intégrale de surface dans laquelle la surface (S ) est donnée par (z = gleft ({x, y} right) ). Nous allons devoir faire trois intégrales ici.

Quelle est la masse de la surface? Ensuite, nous devons déterminer exactement ce que (D ) est. Ex 16. Là encore, c`est configuré pour utiliser la formule initiale que nous avons donnée dans cette section une fois que nous nous rendons compte que l`équation pour le fond est donnée par (gleft ({x, y} right) = 0 ) et (D ) est le disque de RADIUS (sqrt 3 ) centré à l`origine. Maintenant, à ce stade, nous pouvons procéder de l`une des deux façons. N`oubliez pas que nous avons besoin de brancher pour (z )! La fonction P (x, y, z) peut être exprimée en termes de vous et v ainsi en remplaçant x et y. Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons du mal à charger des ressources externes sur notre site Web. Voici les plages pour (y ) et (z ). OK, puisque nous recherchons la portion de l`avion qui se trouve devant le (YZ )-plane, nous allons avoir besoin d`écrire l`équation de la surface sous la forme (x = gleft ({y, z} right) ). La Loi de Gauss dit que la charge nette, $Q $, entourée d`une surface fermée, $S $, est $ $Q = epsilon_0 dint{} {bf E} cdot {bf N} , dS $ $ où $ {bf E} $ est un champ électrique et $ epsilon_0 $ (la permittivité de l`espace libre) est une constante connue; $ bf N $ est orienté vers l`extérieur.

Par symétrie, le centre de la masse est clairement sur le $z $-AXIS, donc nous avons seulement besoin de trouver le $z $-coordonnée du centre de la masse. En fait, l`intégrale à droite est une double intégrale standard. Notez également qu`il existe des formules similaires pour les surfaces données par (y = gleft ({x, z} right) ) (avec (D ) dans le plan (XZ ) et (x = gleft ({y, z} right) ) (avec (D ) dans le plan (YZ )). Voilà le travail. Comme d`habitude, nous imaginons le calcul du flux à travers une très petite section de la surface, avec la zone $dS $, puis en additionnant tous ces petits flux sur $D $ avec une intégrale. Voici l`évaluation de la double intégrale. Evaluer $ DS dint{D} langle 2,-3, 4 ranglecdot {bf N} , dS $, où $D $ est donné par $z = x ^ 2 + y ^ 2 $, $-1 le xle $1, $-1 le yle $1, orienté vers le haut. Voici un croquis de la surface (S ). Exemple 16. Commençons avec un croquis de la surface (S ) puisque la notation peut être un peu déroutant une fois que nous y entrer.